Mathematiker gesucht

Meine Diplomarbeit stellt mich gerade vor eine mathematische Herausforderung die mich als angehender Ingenieur mehr als gewöhnlich zum Grübeln bringt. Vielleicht liest hier ja ein Mathematiker mit, der mir dabei helfen oder mich zumindest an passende Literatur zum Thema verweisen kann.

Das Problem
Welche Anforderungen müssen an eine komplexwertige, quadratische Matrix Q gestellt werden, so dass die Existenz einer invertierbaren Matrix P gesichert ist für die die folgende Gleichung gilt?

Idealer Weise sollte P auch noch hermitisch sein.

Lösung
Ich habe mich heute mit meinem Betreuer unterhalten und er hat mir die Lösung dieses Problems aufgezeigt. Ich möchte sie der Vollständigkeit halber hier vermerken.

Wir nehmen mal an, die Matrix Q sei doch nur reellwertig. Außerdem stellt Q eine Kovarianzmatrix dar und ist deshalb symmetrisch. Weiterhin sei Q positiv definit. Dann kann man eine Eigenwertzerlegung vornehmen und erhält

Dabei ist U eine unitäre Matrix deren Spalten die Eigenvektoren von Q sind und Λ eine Diagonalmatrix die mit den entsprechenden Eigenwerten besetzt ist. Durch elementeweises Wurzelziehen kann die Matrix Λ in zwei Matrizen Λ1/2 mit

zerlegt werden. Entsprechend gilt

Die Mitte des rechten Terms der oberen Gleichung erweitert man dann um eine Einheitsmatrix I der entsprechenden Dimension.

Da die Transponierte einer unitären Matrix gleich deren Inverse ist, gilt

Setzt man das in die vorherige Gleichung ein, erhält man die gewünschte Form.

2 thoughts on “Mathematiker gesucht”

  1. Okay, die Lösung ist aber nicht vollständig. Es wird nur eine hinreichende Bedingung für Q gezeigt. Außerdem fehlt der Beweis, dass P invertierbar ist.

    1. Die Bedingungen für Q reichen mir für meine Diplomarbeit. Gut, zugegeben, ich hätte die Aufgabe daher etwas einfach stellen können. 😉

      P ist invertierbar. Wir haben auf Grund der Form von P ja deren Eigenwerte schon vorliegen (die Hauptdiagonalelemente von Λ1/2 bzw. die Wurzeln der Eigenwerte von Q. Alle Eigenwerte von Q sind größer Null (Q ist positiv definit). Damit sind auch alle Eigenwerte von P größer Null, weshalb P invertierbar ist (siehe).

      PS: Danke übrigens für deinen Kommentar. 🙂

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